Ａはｎ桁の自然数とする。
Ａは
Ａ＝an-1*10n-1+an-2*10n-2+・・・・+a1*101+a0*100 ・・・・①
と表せる。
ただし、
an-1=1～９,
an-2,・・・・,a1,a0=0～９
今、
an-1+an-2+・・・・+a1+a0＝9k ・・・・②
を満たす整数ｋがあるとする。
②より
a0＝9k-(an-1+an-2+・・・・+a1)
これを①に代入して
Ａ＝an-1*10n-1+an-2*10n-2+・・・・+a1*101+9k-(an-1+an-2+・・・・+a1)
=an-1(10n-1-1)+an-2(10n-2-1)+・・・・+a1(101-1)+9k ・・・・③
ところで、
101-1=9
102-1=99
・・・・・
10n-1-1=99・・・・99
であるから、③の各項は9の倍数である。
従ってＡは9の倍数である。
[結論]
ｎ桁の自然数の各桁を表す数の和が９の倍数
なら、そのｎ桁の自然数は９の倍数である。
